Роден е на 17 юни 1872 г. Издънка е на известния род Рачеви, от които е и музикалният педагог Рачко Матев Рачев. Завършва гимназия във Варна през 1890 г. Следва ветеринарна медицина във Висшето ветеринарно училище в Торино, Италия. След завършването му през 1895 г., той се връща в България и е назначен за дивизионен ветеринарен лекар (1896-1918).
Преди Балканската война специализира в Германия и след това става преподавател във Факултета по ветеринарна медицина в Софийския университет.
Началник е на ветеринарната служба при Министерството на войната (1918-1926). Ръководи Ветеринарното подофицерско училище, както и Гарнизонната ветеринарна лечебница (1926-1932). В нея полковник д-р Матю Рачев създава условия за временно настаняване на клиниките, провеждане на учебните занятия със студентите в сградите на Гарнизонната ветеринарна лечебница.
От 1926 г. д-р Матю Рачев завежда Факултетската ветеринарна поликлиника. Доцент е по акушерство и болести на копитото в катедрата по хирургия на Ветеринарномедицинския факултет. Чете лекции по акушерство и болести на копитото. Изключително голяма е ролята му за развитието на военното образование.
Научно-изследователската дейност на частния хоноруван доцент д-р Матю Рачев е в областта на ветеринарната хирургия, акушерство и ортопедия. Статиите му са публикувани във „Ветеринарна сбирка” и „Военен журнал”. „За войсковия кон изобщо” и „Ремонтиране на войската с коне” са заглавия на някои от статиите му. В Годишника на Ветеринарномедицински факултет, т. 3, 1927 г. е публикуван първият му научен труд „Ветеринарният лекар като клиник и общественик”.
Пенсионира се през 1930 г. На 18 ноември 1940 г. д-р Матю Златев Рачев завършва земния си път.